indralstr16: kalkulus

BAHAN AJAR KALKULUS

FUNGSI TURUNAN (DIFERENSIAL)

(Disusun oleh H. Zaimi Effendi)

1. Garis singgung kurva

Pandang titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) pada kurva y = f(x), pada gambar 1 berikut ini.

Y

g

Q(x₂,y₂)

∆y

P(x₁,y₁) y = f(x)

∆x

0 X

Gambar 1

Garis hubung PQ mempunyai gradien: m =

=

, dengan ∆x = x₂ - x₁ dan dapat ditulis x₂ = x₁ + ∆x , dan ∆y = y₂ - y₁ = f(x₂) - f(x₁) = f(x₁ + ∆x) - f(x₁)

Jika titik Q bergerak menuju P sepanjang kurva y = f(x), maka ∆x makin kecil mendekati nol. Sedangkan garis hubung PQ akan makin dekat dan menuju garis singung g di P(x₁, y₁) bersamaan dengan mendekatnya garis PQ ke garis singgung g, maka gradien garis hubung PQ juga menuju gradien garis singgung g. Dengan demikian gradien garis singgung g dapat diperoleh dari limit gradien garis hubung PQ untuk ∆x 0, maka gradien garis singgung g, ditulis m_g adalah:

∆x 0

m_g = L i m

= L i m

Jika ∆x = h, maka :

h 0

m_{g =}L i m

Contoh:

Tentukan gradien dan persamaan garis singgung pada kurva y = x² - 4x + 3 di P(5, 8)

Jawab:

Gradien garis singgung g :

h 0

m_g = L i m

h 0

= L i m

h 0

= L i m

= L i m (6 + h) = 6

Persamaan garis singgung g :

g: y - y₁ = m_g (x - x₁)

y - 8 = 6 (x - 5)

y = 6x - 22

2. Kecepatan sesaat

Proses pencarian gradien garis singgung dengan limit juga terjadi pada proses pencarian kecepatan gerak suatu benda. Misalkan S = f(t) menyatakan jarak benda pada saat t detik diukur dari titik 0, maka kecepatan rata-rata gerak benda tersebut mulai dari t₁ sampai t₂ adalah:

V_rata-rata =

Jika h = t₂ – t₁ maka kecepatan rata-rata (V_rata-rata) =

Kecepatan sesaat pada saat t = t₁ yang ditulis V(t₁) adalah:

h 0

V(t₁) = L i m

Contoh 1:

Sebuah benda bergerak sepanjang lintasan S(t) = 16 t²

Hitunglah kecepatan rata-rata selama selang waktu dari t = 1 sampai t = 2

Jawab:

V_rata-rata =

=

= 48

Contoh 2:

Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = 3t² - 2t + 1.

Hitunglah kecepatan pada saat t = 1 detik

Jawab:

V(t₁) = L i m f(t₁ + h) - f(t₁)

h 0 h

V(1) = L i m f(1 + h) - f(1)

h 0 h

= L i m 3(1 + h)² - 2(1 + h) + 1 - {3(1)² - 2(1) + 1}

h 0 h

= L i m 3h² + 4h = L i m (3h + 4)

h 0

h h 0

= 4

Latihan 1:

1. Carilah gradien dan persamaan garis singgung pada kurva:

a. y = x² di titik P(2, 4)

b. y =

di titik P(

, 1)

c. y = -x² + 2x + 2 di titik P(-2, -6)

2. Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = 2t² + 2, hitunglah:

a. Kecepatan rata-ratapada selang waktu 2≤ t ≤ 3

b. Kecepatan pada t = 2

3. Turunan Fungsi

Proses pencarian gradien garis singgung g pada suatu kurva y = f(x) memberi gagasan pembentukan konsep turunan fungsi. Turunan fungsi y = f(x) pada x = a yang ditulis f '(a) didefinisikan dalam bentuk:

h 0

f '(a) = L i m

Turunan fungsi y = f(x) pada titik sebarang x dapat dinyatakan dalam bentuk :

h 0

f '(x) = L i m

Turunan fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan dengan notasi : y ' , f '(x),

,

(y),

f(x), atau D_xy

Contoh :

Diketahui fungsi f(x) = 3x² + 12, carilah :

Jawab:

a. f '(x) = L i m f(x + h) - f(x)

h 0 h

= L i m 3(x + h)² - f(x)

h 0 h

= L i m 3 x² + 6hx + 3h² + 12 - (3x² + 12)

h 0 h

= L i m 6hx + 3h²

h 0 h

= L i m (6x + h) = 6x

h 0

b. f '(x) = 6x, maka :

f '(2) = 6(2) = 12

Latihan 2:

1. Carilah turunan dari fungsi :

a. f(x) = ½ x² + 3 x - 2

b. f(x) =

c. f(x) =

2. Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = 3t² - 6t + 2, tentukanlah:

a. V(t) b. V(0) c. V(2) d. t sehingga V(t) = 0

3. Aturan Pencarian Turunan Fungsi

Proses pencarian turunan suatu fungsi dari konsep turunan, yakni :

f '(x) = L i m f(x + h) - f(x)

h 0 h

membutuhkan banyak waktu, membosankan dan cukup rumit. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teorema yang sangat bermanfaat pada penurunan fungsi. Sebagaimana yang telah dikemukakan, turunan fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan dengan notasi : y ' , f '(x),

,

(y),

f(x), atau D_xy